Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{2}} + 5) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{2}} + 5 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 6.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 5 d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 5 d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 5 d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + 5 x + C$

Étape 11

Simplifiez

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x} + 5 x + C$