Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + 4 \sin (- 2 x)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Étape 2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Étape 4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (- 2 x)$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x)$

Étape 7

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{6}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{6}$ pour $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{6}$ pour $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$4 \tan (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Étape 9.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$4 (- \tan (\frac{π}{6})) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Étape 9.1.4

Multipliez $4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Étape 9.1.4.2

Associez $- 4$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Étape 9.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Étape 9.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 (- 1) \frac{π}{6})$

Étape 9.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 9.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 9.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 9.1.7

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 9.1.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 9.1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 9.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (- \sqrt{3})$

Étape 9.1.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Étape 9.2

Pour écrire $- 2 \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.3

Associez $- 2 \sqrt{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $6 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$- 5.77350269 \dots$