Calcul infinitésimal Exemples

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5 x - 3$ et $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - \frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.6

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.12

Multipliez $5$ par $1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.13

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

Étape 2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.14.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

Étape 2.14.2

Déplacez $5$ à gauche de $4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Étape 3.3.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

Étape 3.3.4

Associez $- 5$ et $\frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

Étape 3.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

Étape 3.3.7

Pour écrire $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

Étape 3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Étape 3.3.9

Pour écrire $20 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Étape 3.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Étape 3.3.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Étape 3.3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Étape 3.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Étape 3.3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5.4

Développez $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Étape 3.5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.6

Multipliez $5 \frac{3}{x}$ .

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Étape 3.5.5.6.1

Associez $5$ et $\frac{3}{x}$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.5.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Étape 3.5.5.8

Multipliez $\frac{3}{x} \cdot - 3$ .

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Étape 3.5.5.8.1

Associez $\frac{3}{x}$ et $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

Étape 3.5.5.8.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

Étape 3.5.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Étape 3.5.6

Additionnez $20 x^{2}$ et $20 x^{2}$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Étape 3.5.7

Soustrayez $15$ de $15$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

Étape 3.5.8

Additionnez $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ et $0$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

Étape 3.5.9

Pour écrire $40 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

Étape 3.5.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.11

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.11.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.11.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.11.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.12

Pour écrire $- 12 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.13

Associez $- 12 x$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.15.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.15.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.15.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.5.15.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

Étape 3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

Étape 3.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

Étape 3.7.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

Étape 3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

Étape 3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$