Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Étape 1

Laissez $u = θ^{2}$ . Alors $d u = 2 θ d θ$ , donc $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = θ^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 θ$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $θ$ dans $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{π}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Étape 1.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 1.3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Étape 1.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Réécrivez ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ comme $π \cdot 2$ .

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Étape 1.3.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{π \cdot 2}$ comme ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 1.3.6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 1.3.6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Étape 1.3.6.1.5

Simplifiez

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Étape 1.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Étape 1.3.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Étape 1.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $θ$ dans $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez ${\sqrt{π}}^{2}$ comme $π$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{π}$ comme $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π^{1}$

Étape 1.5.5

Simplifiez

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Étape 2.2

Associez $\frac{u}{2}$ et $\cos (u)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $u \sin (u)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Étape 6.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $\sin (\frac{π}{2})$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Étape 6.3.2

Pour écrire $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.3.3

Associez $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Étape 6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Étape 6.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Étape 7.4

Additionnez $- \cos (π)$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Étape 7.6

Pour écrire $π \sin (π)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Étape 7.7

Associez $π \sin (π)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Étape 7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Étape 7.9

Déplacez $2$ à gauche de $π \sin (π)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Étape 7.10

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2 \cdot 2}$

Étape 7.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{4}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π)}{4}$

Étape 8.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

Étape 8.3

Multipliez $2 π \cdot 0$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{0 π - π + 2 \cos (π)}{4}$

Étape 8.3.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

Étape 8.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{0 - π + 2 (- \cos (0))}{4}$

Étape 8.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 - π + 2 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Étape 8.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - π + 2 \cdot - 1}{4}$

Étape 8.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{0 - π - 2}{4}$

Étape 8.8

Soustrayez $π$ de $0$ .

$\frac{- π - 2}{4}$

Étape 8.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- π$ .

$\frac{- (π) - 2}{4}$

Étape 8.10

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (π) - 1 (2)}{4}$

Étape 8.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (π) - 1 (2)$ .

$\frac{- (π + 2)}{4}$

Étape 8.12

Réécrivez $- (π + 2)$ comme $- 1 (π + 2)$ .

$\frac{- 1 (π + 2)}{4}$

Étape 8.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{π + 2}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{π + 2}{4}$

Forme décimale :

$- 1.28539816 \dots$