Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.3

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1

Déplacez $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.6

Multipliez $- 2$ par $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.8

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.9

Multipliez $4$ par $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

Étape 1.2.10

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Étape 1.3

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

Étape 3

Évaluez $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $3$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $49$ par $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

Étape 3.3.2.2

Divisez $3136$ par $4$ .

$27 \cdot 784$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $27$ par $784$ .

$21168$

Étape 4

Évaluez $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $14$ et $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Étape 4.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $56$ par $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $- 54$ .

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

Étape 4.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 \cdot 840$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 9$ par $840$ .

$- 7560$

Étape 5

Évaluez $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $7$ par $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$2 (18) \frac{56}{2}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 \cdot 56$

Étape 5.3.3

Multipliez $18$ par $56$ .

$1008$

Étape 6

Évaluez $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

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Étape 6.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 8) (7)$

Étape 6.3

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$- 56$

Étape 7

Additionnez les résultats des additions.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Soustrayez $7560$ de $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

Étape 8.2

Additionnez $13608$ et $1008$ .

$14616 - 56$

Étape 8.3

Soustrayez $56$ de $14616$ .

$14560$