Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

Étape 1

Réécrivez $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ en utilisant la formule du changement de base.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à 0 et ne sont pas égaux à 1, et si $x$ est supérieur à 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

Étape 2

Comme $\frac{1}{\ln (a)}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ .

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ par $\frac{1}{\ln (a)}$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 4.6

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

Étape 4.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

Étape 4.7.2

Associez $6$ et $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ .

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

Étape 4.7.3

Associez $\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ et $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

Étape 5.2

Factorisez $\ln (a)$ à partir de $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $\ln (a)$ à partir de $2 x^{3} \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

Étape 5.2.2

Factorisez $\ln (a)$ à partir de $7 \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

Étape 5.2.3

Factorisez $\ln (a)$ à partir de $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$