Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} (x^{2} + 2 x - 4) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x - 4 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 4 x]_{1}^{3}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ et $- 4 x]_{1}^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{9 - 1}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.5

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{4}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.5.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$2 \cdot 4 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$8 + \frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $27$ .

$8 + \frac{27}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.9

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 8.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 + \frac{9}{1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.9.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$8 + 9 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.10

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$8 + 9 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.11

Soustrayez $12$ de $9$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.13

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.3.14

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4)$

Étape 8.2.3.15

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.16

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

Étape 8.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 - 3 - \frac{1 - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 8.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.18.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$8 - 3 - \frac{1 - 12}{3}$

Étape 8.2.3.18.2

Soustrayez $12$ de $1$ .

$8 - 3 - \frac{- 11}{3}$

Étape 8.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 - 3 - - \frac{11}{3}$

Étape 8.2.3.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 - 3 + 1 (\frac{11}{3})$

Étape 8.2.3.21

Multipliez $\frac{11}{3}$ par $1$ .

$8 - 3 + \frac{11}{3}$

Étape 8.2.3.22

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{11}{3}$

Étape 8.2.3.23

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$8 + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{11}{3}$

Étape 8.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 + \frac{- 3 \cdot 3 + 11}{3}$

Étape 8.2.3.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.25.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$8 + \frac{- 9 + 11}{3}$

Étape 8.2.3.25.2

Additionnez $- 9$ et $11$ .

$8 + \frac{2}{3}$

Étape 8.2.3.26

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 8.2.3.27

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 8.2.3.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Étape 8.2.3.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.29.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24 + 2}{3}$

Étape 8.2.3.29.2

Additionnez $24$ et $2$ .

$\frac{26}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{26}{3}$

Forme décimale :

$8.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$8 \frac{2}{3}$

Étape 10