Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5 x^{3} + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{3} + 3 x^{2} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{3}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x^{1}}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{5 x^{2} + 3 x + 1}{x} d x$

Étape 2

Divisez $5 x^{2} + 3 x + 1$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$5 x$
	$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$5 x^{2}$	+	$0$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{2} + 0$

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$

Étape 2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Étape 2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Étape 2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					+	$3 x$	+	$0$

Étape 2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x + 0$

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$

Étape 2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$
							+	$1$

Étape 2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 5 x + 3 + \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \ln (| x |) + C$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{2} x^{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$