Calcul infinitésimal Exemples

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Étape 2.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Étape 2.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Étape 2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Étape 2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Étape 2.2.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Étape 2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Étape 2.2.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Étape 2.2.10

Associez $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Étape 2.2.11

Placez $y^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.12

Associez $3$ et $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.13

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.14

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Étape 5.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Étape 5.4

Réécrivez $y^{\frac{2}{3}}$ comme ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

Étape 5.5

Réécrivez $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ comme ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

Étape 5.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

Étape 5.7

Factorisez.

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Étape 5.7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ et $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

Étape 5.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

Étape 5.8

Divisez chaque terme dans $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ par $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Divisez chaque terme dans $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ par $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Étape 5.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Étape 5.8.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Étape 5.8.2.4

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.8.3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Étape 5.8.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Étape 5.8.3.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 5.8.3.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 5.8.3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 5.8.3.2

Multipliez $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 5.8.3.3

Multipliez $y^{\frac{1}{3}}$ par $y^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.8.3.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

Étape 5.8.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

Étape 5.8.3.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 5.8.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$