Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} (1 - | x |) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{1} 1 - | x | d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} | x | d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale selon là où $x$ est positif et négatif.

$x]_{- 1}^{1} - (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{- 1}^{1} - (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(1) + 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 - (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 - (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 - (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 - (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 - (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.5

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$2 - (- - \frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 - (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 10.2.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 10.2.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 10.2.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 10.2.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 10.2.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0)$

Étape 10.2.4.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0)$

Étape 10.2.4.12

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 10.2.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 - \frac{1 + 1}{2}$

Étape 10.2.4.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - \frac{2}{2}$

Étape 10.2.4.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.4.15.1

Annulez le facteur commun.

$2 - \frac{2}{2}$

Étape 10.2.4.15.2

Réécrivez l’expression.

$2 - 1 \cdot 1$

Étape 10.2.4.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1$

Étape 10.2.4.17

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1$

Étape 11