Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{18 x^{2} - 3 x + 2}{2 x^{2} + 5}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 x^{2} - 3 x + 2}{2 x^{2} + 5}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.1.2

Divisez $18$ par $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{- 3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 18 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $18$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{18 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 3.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Étape 7.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\sqrt{\frac{18 + 0 + 2 \cdot 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sqrt{\frac{18 + 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Étape 9.3

Additionnez $18 + 0$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{18 + 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Étape 9.4

Additionnez $18$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{18}{2 + 5 \cdot 0}}$

Étape 9.5

Multipliez $5$ par $0$ .

$\sqrt{\frac{18}{2 + 0}}$

Étape 9.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{18}{2}}$

Étape 9.7

Divisez $18$ par $2$ .

$\sqrt{9}$

Étape 9.8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Étape 9.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3$