Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Développez $(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.2

Associez les termes opposés dans $x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + 1 x - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) + 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.2.3

Additionnez $x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2})$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x^{1}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{2 + 1} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1}$

Étape 1.4

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} - x^{2} - 1}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $3$ de ${(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{{(0 + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{{(0 - 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

Étape 8.1.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

Étape 8.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 8}{2 - 0 - 0}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0 - 0}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0 + 0}$

Étape 8.2.3

Additionnez $2 + 0$ et $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0}$

Étape 8.2.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- 8}{2}$

Étape 8.3

Divisez $- 8$ par $2$ .

$- 4$