Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{3} 3 x^{2} - 4 x + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x$

Étape 6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 4 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + x]_{0}^{3}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + x]_{0}^{3}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{3}$

Étape 10.3

Évaluez $x$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$3 (9 - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (9 - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 10.4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$3 (9 - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (9 - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 (9 - 0) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 (9 + 0) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.6

Additionnez $9$ et $0$ .

$3 \cdot 9 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$27 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$27 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3) + 0$

Étape 10.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$27 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3) + 0$

Étape 10.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$27 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) + (3) + 0$

Étape 10.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$27 - 4 (\frac{9}{2} - 0) + (3) + 0$

Étape 10.4.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$27 - 4 (\frac{9}{2} + 0) + (3) + 0$

Étape 10.4.12

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$27 - 4 (\frac{9}{2}) + (3) + 0$

Étape 10.4.13

Associez $- 4$ et $\frac{9}{2}$ .

$27 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} + (3) + 0$

Étape 10.4.14

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$27 + \frac{- 36}{2} + (3) + 0$

Étape 10.4.15

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

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Étape 10.4.15.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$27 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + (3) + 0$

Étape 10.4.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$27 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + (3) + 0$

Étape 10.4.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$27 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + (3) + 0$

Étape 10.4.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$27 + \frac{- 18}{1} + (3) + 0$

Étape 10.4.15.2.4

Divisez $- 18$ par $1$ .

$27 - 18 + (3) + 0$

Étape 10.4.16

Soustrayez $18$ de $27$ .

$9 + (3) + 0$

Étape 10.4.17

Additionnez $3$ et $0$ .

$9 + 3$

Étape 10.4.18

Additionnez $9$ et $3$ .

$12$

Étape 11