Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Étape 1

Laissez $y = f (θ)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ comme $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

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Étape 3.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \ln (θ)$ et $g (θ) = \sec (θ)$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\sec (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.3.5

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

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Étape 3.2.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \ln (θ)$ et $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Étape 3.2.4.1.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Étape 3.2.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Étape 3.2.4.2

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Étape 3.2.4.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

Étape 3.2.4.5

Convertissez de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ à $\cot (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.5.2.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (θ)$ et $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.1.2

Réécrivez $\cos (θ) \sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.2

Multipliez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.3

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.4

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Étape 3.2.5.2.7

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 3.2.5.2.8

Associez.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.2.5.2.9

Annulez le facteur commun à $\cos (θ)$ et $\cos^{2} (θ)$ .

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Étape 3.2.5.2.9.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $1 \cos (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.2.5.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.5.2.9.2.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Étape 3.2.5.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Étape 3.2.5.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.3.1

Convertissez de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ à $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.2.5.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 3.2.5.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Étape 3.2.5.3.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Étape 5.2

Multipliez $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Étape 5.2.2

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Étape 5.3

Multipliez $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Étape 5.3.1

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

Étape 5.3.2

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$