Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{x + \sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt[3]{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt[3]{\frac{x}{x^{3}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt[3]{\frac{x}{x^{3}}}}$

Étape 2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt[3]{\frac{x}{x^{3}}}}$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \sqrt[3]{\frac{x}{x^{3}}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \sqrt[3]{\frac{x^{1}}{x^{3}}}}$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \sqrt[3]{\frac{x \cdot 1}{x^{3}}}}$

Étape 2.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \sqrt[3]{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \sqrt[3]{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 + 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 + 3 \cdot 0}{1 + \sqrt[3]{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 + 3 \cdot 0}{1 + \sqrt[3]{0}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{2 + 0}{1 + \sqrt[3]{0}}$

Étape 6.1.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{1 + \sqrt[3]{0}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{2}{1 + \sqrt[3]{0^{3}}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{2}{1 + 0}$

Étape 6.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 6.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2$