Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{2} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (x)$ et $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - \int - \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Étape 5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{2} (x) d x$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + 1 \int \cos^{2} (x) d x$

Étape 9

Multipliez $\int \cos^{2} (x) d x$ par $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) d x$

Étape 10

Multipliez par $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) \cdot 1 d x$

Étape 11

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos^{2} (x)$ et $d v = 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - \int x (- 2 \cos (x) \sin (x)) d x$

Étape 12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - (- 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x)$

Étape 13

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x + 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x$

Étape 14

En résolvant $\int \sin^{2} (x) d x$ , nous trouvons que $\int \sin^{2} (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1} + C$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez

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Étape 15.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Étape 15.1.2

Réécrivez $- 1 (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ comme $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ .

$- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Étape 15.2

Réécrivez $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$ comme $- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$ .

$- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$