Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{2}{5}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 2.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.13

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $5^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{5}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.5.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ par $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{\sqrt{5}}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ approche de $0$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{5}$ par $0$ .

$0$