Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2 \frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1} d t$

Étape 1

Associez $2$ et $\frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{2 (t^{2} - 1)}{t^{4} - 1} d t$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1} d t$

Étape 3

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 3.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 3.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{t^{4} - 1}$

Étape 3.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{t^{4} - 1}$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2})}^{2} - 1}$

Étape 3.1.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.1.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t^{2} - 1)}$

Étape 3.1.1.6

Simplifiez

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Étape 3.1.1.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t^{2} - 1^{2})}$

Étape 3.1.1.6.2

Factorisez.

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Étape 3.1.1.6.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) ((t + 1) (t - 1))}$

Étape 3.1.1.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$

Étape 3.1.1.7

Réduisez l’expression $\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$

Étape 3.1.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t - 1}{(t^{2} + 1) (t - 1)}$

Étape 3.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A t + B}{t^{2} + 1}$

Étape 3.1.3

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $C$ .

$\frac{A t + B}{t^{2} + 1} + \frac{C}{t - 1}$

Étape 3.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(t^{2} + 1) (t - 1)$ .

$\frac{(t - 1) (t^{2} + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t - 1)} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $t - 1$ .

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Étape 3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t - 1) (t^{2} + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t - 1)} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun de $t^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.6.2

Divisez $t - 1$ par $1$ .

$t - 1 = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.7.1

Annulez le facteur commun de $t^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$t - 1 = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.1.2

Divisez $(A t + B) (t - 1)$ par $1$ .

$t - 1 = (A t + B) (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.2

Développez $(A t + B) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$t - 1 = A t (t - 1) + B (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$t - 1 = A t \cdot t + A t \cdot - 1 + B (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$t - 1 = A t \cdot t + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.7.3.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.7.3.1.1

Déplacez $t$ .

$t - 1 = A (t \cdot t) + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.3.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$t - 1 = A t^{2} + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $A t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 \cdot (A t) + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.3.3

Réécrivez $- 1 (A t)$ comme $- (A t)$ .

$t - 1 = A t^{2} - (A t) + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.3.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - 1 \cdot B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.3.5

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.4

Annulez le facteur commun de $t - 1$ .

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Étape 3.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Étape 3.1.7.4.2

Divisez $(C) (t^{2} + 1)$ par $1$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + (C) (t^{2} + 1)$

Étape 3.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + C t^{2} + C \cdot 1$

Étape 3.1.7.6

Multipliez $C$ par $1$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + C t^{2} + C$

Étape 3.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.8.1

Déplacez $A$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t - B + C t^{2} + C$

Étape 3.1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t - B + C t^{2} + C$

Étape 3.1.8.3

Déplacez $- B$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t + C t^{2} - B + C$

Étape 3.1.8.4

Déplacez $B t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + C t^{2} + B t - B + C$

Étape 3.1.8.5

Déplacez $- 1 t A$ .

$t - 1 = A t^{2} + C t^{2} - 1 t A + B t - B + C$

Étape 3.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 3.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $t^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + C$

Étape 3.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $t$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A + B$

Étape 3.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $t$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

$0 = A + C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + C$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$A = - C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- C$ dans chaque équation.

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Étape 3.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = - 1 A + B$ par $- C$ .

$1 = - 1 (- C) + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $- 1 (- C)$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = 1 C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.2.2.1.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.3

Résolvez $C$ dans $1 = C + B$ .

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $C + B = 1$ .

$C + B = 1$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$C = 1 - B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$C = 1 - B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 3.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $A = - C$ par $1 - B$ .

$A = - (1 - B)$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.2.1

Simplifiez $- (1 - B)$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$A = - 1 \cdot 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.4.2.1.3

Multipliez $- - B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = - 1 + 1 B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.4.2.1.3.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $- 1 = - 1 B + C$ par $1 - B$ .

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.4.4

Simplifiez $- 1 = - 1 B + 1 - B$ .

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Étape 3.3.4.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.4.1.1

Supprimez les parenthèses.

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.4.2.1

Simplifiez $- 1 B + 1 - B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.4.2.1.1

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$- 1 = - B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.4.4.2.1.2

Soustrayez $B$ de $- B$ .

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.5

Résolvez $B$ dans $- 1 = - 2 B + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 B + 1 = - 1$ .

$- 2 B + 1 = - 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 B = - 1 - 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.5.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2 B = - 2$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 2 B = - 2$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.5.3

Divisez chaque terme dans $- 2 B = - 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 B = - 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.5.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.3.3.1

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - 1 + B$ par $1$ .

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.6.2

Simplifiez $A = - 1 + 1$ .

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Étape 3.3.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

Étape 3.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $C = 1 - B$ par $1$ .

$C = 1 - (1)$

$A = 0$

$B = 1$

Étape 3.3.6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.4.1

Simplifiez $1 - (1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$C = 1 - 1$

$A = 0$

$B = 1$

Étape 3.3.6.4.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

Étape 3.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$C = 0, A = 0, B = 1$

Étape 3.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A t + B}{t^{2} + 1} + \frac{C}{t - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{0 t + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{(0) \cdot t + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $0$ par $t$ .

$\frac{0 + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Étape 3.5.3

Divisez $0$ par $t - 1$ .

$\frac{1}{t^{2} + 1} + 0$

Étape 3.5.4

Supprimez le zéro de l’expression.

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $t^{2}$ et $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1 + t^{2}} d t$

Étape 4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\arctan (t)]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

$2 (\arctan (t)]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}})$

Étape 6

Évaluez $\arctan (t)$ sur $\frac{1}{\sqrt{3}}$ et sur $0$ .

$2 (\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}}) - \arctan (0))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

$2 (\frac{π}{6} - \arctan (0))$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - 0)$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{π}{6} + 0)$

Étape 7.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$2 \frac{π}{6}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)}$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 7.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{3}$

Forme décimale :

$1.04719755 \dots$

Étape 9