Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{3}^{6} (x^{2} - 2 x) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{3}^{6} x^{2} - 2 x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{3}^{6} x^{2} d x + \int_{3}^{6} - 2 x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} + \int_{3}^{6} - 2 x d x$

Étape 4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} - 2 \int_{3}^{6} x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $6$ et sur $3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $6$ et sur $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $216$ .

$\frac{216}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{72}{1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$72 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$72 - \frac{1}{3} \cdot 27 - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.5

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$72 - 27 (\frac{1}{3}) - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6

Associez $- 27$ et $\frac{1}{3}$ .

$72 + \frac{- 27}{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

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Étape 6.2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$72 + \frac{3 \cdot - 9}{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$72 + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$72 + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$72 + \frac{- 9}{1} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$72 - 9 - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8

Soustrayez $9$ de $72$ .

$63 - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$63 - 2 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.10

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$63 - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$63 - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$63 - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$63 - 2 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.10.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$63 - 2 (18 - \frac{3^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$63 - 2 (18 - \frac{9}{2})$

Étape 6.2.3.12

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$63 - 2 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})$

Étape 6.2.3.13

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$63 - 2 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})$

Étape 6.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$63 - 2 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2}$

Étape 6.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.15.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$63 - 2 \frac{36 - 9}{2}$

Étape 6.2.3.15.2

Soustrayez $9$ de $36$ .

$63 - 2 (\frac{27}{2})$

Étape 6.2.3.16

Associez $- 2$ et $\frac{27}{2}$ .

$63 + \frac{- 2 \cdot 27}{2}$

Étape 6.2.3.17

Multipliez $- 2$ par $27$ .

$63 + \frac{- 54}{2}$

Étape 6.2.3.18

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$63 + \frac{2 \cdot - 27}{2}$

Étape 6.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$63 + \frac{2 \cdot - 27}{2 (1)}$

Étape 6.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$63 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$63 + \frac{- 27}{1}$

Étape 6.2.3.18.2.4

Divisez $- 27$ par $1$ .

$63 - 27$

Étape 6.2.3.19

Soustrayez $27$ de $63$ .

$36$

Étape 7