Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{9} \frac{4 + x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{4 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(4 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

Étape 4.6.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{9}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$4 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{9}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$4 (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.4

Évaluez l’exposant.

$4 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (6 - 2 \cdot 1) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 (6 - 2) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.8

Soustrayez $2$ de $6$ .

$4 \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.10

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.13

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.14

Associez $\frac{2}{5}$ et $243$ .

$16 + \frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.15

Multipliez $2$ par $243$ .

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 9.3.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 9.3.17

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5}$

Étape 9.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16 + \frac{486 - 2}{5}$

Étape 9.3.19

Soustrayez $2$ de $486$ .

$16 + \frac{484}{5}$

Étape 9.3.20

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$16 \cdot \frac{5}{5} + \frac{484}{5}$

Étape 9.3.21

Associez $16$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \cdot 5}{5} + \frac{484}{5}$

Étape 9.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 \cdot 5 + 484}{5}$

Étape 9.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.23.1

Multipliez $16$ par $5$ .

$\frac{80 + 484}{5}$

Étape 9.3.23.2

Additionnez $80$ et $484$ .

$\frac{564}{5}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{564}{5}$

Forme décimale :

$112.8$

Forme de nombre mixte :

$112 \frac{4}{5}$

Étape 11