Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $t$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Étape 5.2

Comme la fonction $t^{\frac{1}{2}}$ approche de $\infty$ , la constante positive $2$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 5.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $2$ retiré.

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Étape 5.2.2

Réécrivez $t^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

Étape 5.2.3

Lorsque $t$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

Étape 5.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.3.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\infty - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\infty - 2$

Étape 5.3.2.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\infty$