Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \frac{1}{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} + 1$