Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \csc (2 x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \csc (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Étape 1.1.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{12})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 (6)})$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{4})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 (2)})$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 1.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{2}^{1}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{2} u_{2}$ sur $1$ et sur $2$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} + 1$

Étape 4.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 4.2.6

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$