Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ est continu.

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Étape 1.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 2]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

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Étape 1.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{4 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x = 0$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 1.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[1, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 2.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 2.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 2.1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Étape 2.1.1.3.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Étape 2.1.1.3.5

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[1, 2]$ .

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Étape 2.2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 2]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{4 x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.1.2.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.2.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.1.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.1.2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[1, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[1, 2]$ car la dérivée est continue sur $[1, 2]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[1, 2]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[1, 2]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 4.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 4.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Étape 4.3.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Étape 4.3.5

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

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Étape 6.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

Étape 6.3

Multipliez $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.4.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

Étape 6.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Étape 6.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Étape 6.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Étape 6.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Étape 6.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 6.10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 6.10.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3

Simplifiez

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Étape 6.10.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3.5

Associez $4$ et $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3.6

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 6.10.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

Étape 6.10.3.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 6.10.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

Étape 6.10.3.11

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

Étape 6.10.3.12

Pour écrire $\frac{28}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 6.10.3.13

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 6.10.3.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.10.3.14.1

Multipliez $\frac{28}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 6.10.3.14.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 6.10.3.14.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Étape 6.10.3.14.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

Étape 6.10.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

Étape 6.10.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.10.3.16.1

Multipliez $28$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

Étape 6.10.3.16.2

Additionnez $56$ et $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

Étape 6.10.3.17

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

Étape 6.10.3.18

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{59}{24}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{59}{24}$

Forme décimale :

$2.458\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{11}{24}$

Étape 8