Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Étape 2.3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Étape 2.3.8

Additionnez $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ et $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez des termes.

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Étape 2.5.1.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.5.1.3

Pour écrire $- \frac{3}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.5.1.4

Pour écrire $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.5.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2} y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.5.1.5.1

Multipliez $\frac{3}{x^{2}}$ par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.5.1.5.2

Multipliez $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Étape 2.5.1.5.3

Réorganisez les facteurs de $y^{2} x^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Étape 2.5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

Étape 5.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

Étape 5.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

Étape 5.2.1.3.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

Étape 5.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.2.1

Ajoutez $3 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

Étape 5.2.2.2

Ajoutez $x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

Étape 5.2.3

Divisez chaque terme dans $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ par $x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Étape 5.2.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 5.2.3.3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

Étape 5.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

Étape 5.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

Étape 5.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$