Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{2} x^{2} - x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - x d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{7}{3} - (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{7}{3} - (2 - \frac{1}{2})$

Étape 6.2.3.10

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.2.3.11

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 6.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.13.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{7}{3} - \frac{4 - 1}{2}$

Étape 6.2.3.13.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{7}{3} - \frac{3}{2}$

Étape 6.2.3.14

Pour écrire $\frac{7}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 6.2.3.15

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.16.1

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3.16.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3.16.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.3.16.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6}$

Étape 6.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 \cdot 2 - 3 \cdot 3}{6}$

Étape 6.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.18.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{14 - 3 \cdot 3}{6}$

Étape 6.2.3.18.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{14 - 9}{6}$

Étape 6.2.3.18.3

Soustrayez $9$ de $14$ .

$\frac{5}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{6}$

Forme décimale :

$0.8\overline{3}$

Étape 8