Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sqrt{x} d x + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 6.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$