Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2^{2} \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5

Associez $2$ et $\frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2.6

Associez $\frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ et $\cos (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t) \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.7

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.8

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{2 {\cos (t)}^{1 + 1}}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.12

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ à $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (t)$ comme $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 6

Comme la dérivée de $- \cot (t)$ est $\csc^{2} (t)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (t)$ est $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Étape 7

Simplifiez

$- t - \cot (t) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$