Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} (x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{1} x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Étape 10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1})$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Étape 12.2.3

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Étape 12.2.4

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5

Simplifiez

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Étape 12.2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 12.2.5.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.12

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 + 2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.15

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.16

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + \frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.17

Additionnez $0$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.19

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.21

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.22

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 12.2.5.22.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.22.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.22.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.23

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.24

Additionnez $\frac{4}{3}$ et $0$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.25

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 12.2.5.26

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5})$

Étape 12.2.5.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - - \frac{1}{5})$

Étape 12.2.5.28

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

Étape 12.2.5.29

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Étape 12.2.5.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} + 5 \frac{1 + 1}{5}$

Étape 12.2.5.31

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{2}{5})$

Étape 12.2.5.32

Associez $5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Étape 12.2.5.33

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{10}{5}$

Étape 12.2.5.34

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 12.2.5.34.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Étape 12.2.5.34.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.34.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Étape 12.2.5.34.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Étape 12.2.5.34.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} + \frac{2}{1}$

Étape 12.2.5.34.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{4}{3} + 2$

Étape 12.2.5.35

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.5.36

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5.37

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5.38

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.38.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 + 6}{3}$

Étape 12.2.5.38.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$\frac{10}{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10}{3}$

Forme décimale :

$3.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$3 \frac{1}{3}$

Étape 14