Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - h)}^{2}$ comme $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Étape 1.2

Développez $(x - h) (x - h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + k$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.4.1

Déplacez $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + k$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + k$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $h^{2}$ par $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Étape 1.3.2

Soustrayez $h x$ de $- x h$ .

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Étape 1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $h x$ de $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Étape 1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Étape 2

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 3

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{0}{2 (1)}$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{0}{2 (1)}$

Étape 3.3

Simplifiez $- \frac{0}{2 (1)}$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$x = - \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{0}{1}$

Étape 3.3.1.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$x = - 0$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $f (0)$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = a {(0)}^{2} - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = a \cdot 0 - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $a$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 2 a h \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$f (0) = 0 + 0 a h + a h^{2} + k$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $0$ par $a$ .

$f (0) = 0 + 0 h + a h^{2} + k$

Étape 4.2.1.3.3

Multipliez $0$ par $h$ .

$f (0) = 0 + 0 + a h^{2} + k$

Étape 4.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + a h^{2} + k$ .

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + a h^{2} + k$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $a h^{2}$ .

$f (0) = a h^{2} + k$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $a h^{2} + k$ .

$a h^{2} + k$

Étape 5

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(0, a h^{2} + k)$

Étape 6