Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{6 x \sec (3 x)}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{x \sec (3 x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x \sec (3 x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \sec (3 x)}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sec (3 x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sec (3 x)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x \sec (3 x)}$

Étape 2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \sec (3 x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sec (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 2.1.3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.5.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sec (0)}$

Étape 2.1.3.5.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.5.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{x \sec (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sec (3 x)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\sec (3 x)] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3 + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.12

Déplacez $3$ à gauche de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \cdot 3 \cdot \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \cdot 3 \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x) \cdot 1}$

Étape 2.3.14

Multipliez $\sec (3 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{x \cdot 3 \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x)}$

Étape 2.3.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{3 x \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 x \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x)}$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x)}$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x)}$

Étape 3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \sec (3 x) \tan (3 x) + \sec (3 x)}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \sec (3 x) \tan (3 x) + lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 3.7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \sec (3 x) \tan (3 x) + lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 3.8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x) + lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 3.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \sec (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x) + lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 3.10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x) + lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 3.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 3.12

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec (3 x)}$

Étape 3.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x) + \sec (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 3.14

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x) + \sec (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x) + \sec (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x) + \sec (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x) + \sec (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0)}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{2}}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sec (0) \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \tan (3 \cdot 0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \tan (0) + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3.6

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3.7

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \sec (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3.8

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \sec (0)}$

Étape 5.3.9

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Étape 5.3.10

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$