Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ est continu.

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Étape 1.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[0, 1]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Étape 1.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 - x^{2} \geq 0$

Étape 1.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 2$

Étape 1.1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Étape 1.1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Étape 1.1.2.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.1.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.1.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.1.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.1.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.1.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{2}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.1.2.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{2}$ quand $x < 0$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.1.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Étape 1.1.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Étape 1.1.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{2}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Étape 1.1.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notation d’intervalle :

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 1]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - x^{2}}$ comme ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.7.3

Placez ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 2.1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.1.1.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.1.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 2.1.1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 2.1.1.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 2.1.1.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.1.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[0, 1]$ .

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Étape 2.2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[0, 1]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

Étape 2.2.1.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 - x^{2} \geq 0$

Étape 2.2.1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 2$

Étape 2.2.1.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.1.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Étape 2.2.1.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.3.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.3.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.2.1.3.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.2.1.3.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.3.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.2.1.3.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.3.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.2.1.3.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{2}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.3.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{2}$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.2.1.3.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.3.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.2.1.3.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.3.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.2.1.3.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.2.1.3.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.3.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.3.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{2}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Étape 2.2.1.3.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

Étape 2.2.1.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - x^{2}}$ comme ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.5.2.2.1

Simplifiez ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.5.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.2.2.1.2

Simplifiez

$2 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.5.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1.5.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 2$

Étape 2.2.1.5.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.1.5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.1.5.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.2.1.5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.5.3.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Étape 2.2.1.5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.5.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.1.5.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.5.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.5.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 2.2.1.6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Notation d’intervalle :

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[0, 1]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[0, 1]$ car la dérivée est continue sur $[0, 1]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[0, 1]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[0, 1]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - x^{2}}$ comme ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.7.3

Placez ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 4.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 4.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 4.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 4.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

Étape 6