Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à $d^{2}$ et $d$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $d$ à partir de $d^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $d$ à partir de $d x^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d (x^{2})} (\sin (x) + \cos (x))]$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Étape 1.2

Comme $\sin (x) + \cos (x)$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $\frac{d}{x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))$ par rapport à $d$ est $(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}}]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Comme $\frac{1}{x^{2}}$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $\frac{d}{x^{2}}$ par rapport à $d$ est $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d \cdot d} [d]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d \cdot d} [d])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ est $n d^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\sin (x) + \cos (x)$ par $1$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{1}{x^{2}} + \cos (x) \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.6.2.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{x^{2}} + \cos (x) \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (d) = \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x^{2}}$ par rapport à $d$ est $\frac{d}{d \cdot d} [\frac{\sin (x)}{x^{2}}] + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{\sin (x)}{x^{2}}] + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Comme $\frac{\sin (x)}{x^{2}}$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $\frac{\sin (x)}{x^{2}}$ par rapport à $d$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$

Étape 2.3

Comme $\frac{\cos (x)}{x^{2}}$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $\frac{\cos (x)}{x^{2}}$ par rapport à $d$ est $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (d) = 0$