Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

Étape 4.2.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

Étape 4.3

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$0 + 6 x + 3$

Étape 4.4

Additionnez $0$ et $6 x$ .

$6 x + 3$