Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1}) \cdot 2} d u_{1}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{2 \cos (u_{1})} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = - \cos (u_{1}) d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Étape 5.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int 1 (1 + u_{2}) d u_{2}$

Étape 6.2

Multipliez $1 + u_{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + u_{2} d u_{2}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin^{2} (u_{1})) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x)) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2}) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

Étape 12.4

Associez.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1 \sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 12.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.1

Multipliez $\sin^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 12.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{4} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$