Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{1 + x}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot 1}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{0 + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{0 + 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $0 - 1 \cdot 1$ et $0 + 1$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 1}{0 + 1}$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 1$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 (1)}{0 + 1}$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (0) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (0 + 1)}{0 + 1}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (0 + 1)}{0 + 1}$

Étape 6.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$