Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Étape 1.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Étape 1.1.3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.4

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Étape 1.3.8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.9

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.10

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.11

Comme $3^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Étape 1.3.13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Étape 1.3.14

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.16.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Étape 1.3.16.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Étape 1.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 1.3.18

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.19

Associez $3^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.20

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.5.2

Réécrivez $3^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{3}}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{2}{\sqrt{3}}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 3.1.2

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 3.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9

Simplifiez

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Étape 3.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 3.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ approche de $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Étape 6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 0$

Étape 6.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot 0$

Étape 6.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot 0$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 0$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot 0$

Étape 6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

Étape 6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

Étape 6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Étape 6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Étape 6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \cdot 0$

Étape 6.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $0$ .

$0$