Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{2 e^{x}}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{e^{x}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Étape 7

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Étape 9.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 \cdot 1}{e^{0}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3}{e^{0}}$

Étape 9.1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{e^{0}}$

Étape 9.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$2$