Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\sqrt{x}}$ comme $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln (x^{\sqrt{x}})$ en déplaçant $\sqrt{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

Étape 3

Réécrivez $\sqrt{x} \ln (x)$ comme $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Étape 4.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Étape 4.1.3

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $\sqrt{x}$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Étape 4.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

Étape 4.3.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

Étape 4.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

Étape 4.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

Étape 4.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

Étape 4.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Étape 4.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

Étape 4.3.10.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

Étape 4.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

Étape 4.3.12

Simplifiez

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Étape 4.3.12.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

Étape 4.3.12.2

Associez des termes.

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Étape 4.3.12.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

Étape 4.3.12.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5

Combinez les facteurs.

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Étape 4.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{- 2}{x}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Étape 4.6

Réduisez.

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Étape 4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Étape 4.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Étape 4.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Étape 4.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Étape 4.6.2.5

Divisez $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Déplacez l’exposant $\frac{1}{2}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

Étape 7.1.4

Évaluez l’exposant.

$e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 7.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$