Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 + x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Simplifiez $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Étape 5.1

Réorganisez les termes.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 6

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Étape 6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Étape 7

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (t)$ et $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 9

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Étape 10

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Étape 12.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 13

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Étape 14

Simplifiez en multipliant.

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Étape 14.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 14.3

Remettez dans l’ordre $\sec (t)$ et $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 15

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Étape 16

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Étape 18

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Étape 19

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Étape 21

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Étape 22

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 23

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 24

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 25

Simplifiez en multipliant.

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Étape 25.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Étape 25.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Étape 26

En résolvant $\int \sec^{3} (t) d t$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Étape 27

Multipliez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ par $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Étape 28

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 29

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

Étape 30

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$