Calcul infinitésimal Exemples

$x + y = \frac{x}{y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x + y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 + y' = \frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$(1 + y') y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $(1 + y') y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $y' y^{2}$ .

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' y^{2} + y^{2} = - x y' + y$

Étape 5.2.2.1.2

Déplacez $x$ .

$y' y^{2} + y^{2} = - 1 y' x + y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $- 1 y'$ comme $- y'$ .

$y' y^{2} + y^{2} = - y' x + y$

Étape 5.3.2

Ajoutez $y' x$ aux deux côtés de l’équation.

$y' y^{2} + y^{2} + y' x = y$

Étape 5.3.3

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y' y^{2} + y' x = y - y^{2}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2} + y' x$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Étape 5.3.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$

Étape 5.3.5

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ par $y^{2} + x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ par $y^{2} + x$ .

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} + x$ .

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Étape 5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Étape 5.3.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y - y^{2}}{y^{2} + x}$

Étape 5.3.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y - y^{2}$ .

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Étape 5.3.5.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - y^{2}}{y^{2} + x}$

Étape 5.3.5.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - y^{2}}{y^{2} + x}$

Étape 5.3.5.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- y)}{y^{2} + x}$

Étape 5.3.5.3.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$