Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \sqrt{a + b x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a + b x}$ comme ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(a + b x)}^{\frac{1}{2}}] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = a + b x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $a + b x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a + b x$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(a + b x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(a + b x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3

Placez ${(a + b x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [a + b x] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + b x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [b x] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} (b \frac{d}{d x} [x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Associez $b$ et $\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15

Multipliez $\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 17

Multipliez ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18

Pour écrire ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Associez ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(a + b x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Multipliez ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.1

Déplacez ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{b x + {(a + b x)}^{1} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Simplifiez ${(a + b x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{b x + (a + b x) \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Déplacez $2$ à gauche de $a + b x$ .

$\frac{b x + 2 \cdot (a + b x)}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b x + 2 a + 2 (b x)}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2

Additionnez $b x$ et $2 b x$ .

$\frac{2 a + 3 b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$