Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$ comme $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2}) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{4} + 2)}^{2}) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\ln (y) = 2 \ln (x^{4} + 2) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$

Étape 2.3

Développez $\ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\ln (y) = 2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (x^{4} + 2)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{4} + 2)]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4} + 2$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{4} + 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4} + 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3} + 0)) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.6

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.7

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{4}{x^{4} + 2} x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.8

Associez $\frac{4}{x^{4} + 2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.9

Associez $2$ et $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 (4 x^{3})}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.3.10

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x^{3} + 4)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 4)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 4)]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{3} + 4$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3} + 4$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

Étape 3.2.4.2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

Étape 3.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3} + 4$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

Étape 3.2.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]))$

Étape 3.2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]))$

Étape 3.2.4.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2} + 0))$

Étape 3.2.4.6

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2}))$

Étape 3.2.4.7

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{3}{x^{3} + 4} x^{2})$

Étape 3.2.4.8

Associez $\frac{3}{x^{3} + 4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$

Étape 3.2.4.9

Associez $4$ et $\frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{4 (3 x^{2})}{x^{3} + 4}$

Étape 3.2.4.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$

Étape 3.2.5

Associez des termes.

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Étape 3.2.5.1

Pour écrire $\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} \cdot \frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$

Étape 3.2.5.2

Pour écrire $\frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} \cdot \frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4} \cdot \frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$

Étape 3.2.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.5.3.1

Multipliez $\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2}$ par $\frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4} \cdot \frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$

Étape 3.2.5.3.2

Multipliez $\frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$ par $\frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)} + \frac{12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

Étape 3.2.5.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)} + \frac{12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

Étape 3.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)} ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ à partir de $(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) (1)} ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

Étape 5.1.2

Factorisez $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ à partir de ${(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) (1)} ((x^{4} + 2) (x^{3} + 4) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3}))$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) \cdot 1} ((x^{4} + 2) (x^{3} + 4) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3}))$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$y' = (8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = (8 x^{3} x^{3} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$y' = (8 (x^{3} x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = (8 x^{3 + 3} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$y' = (8 x^{6} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{2} x^{4} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 (x^{4} x^{2}) + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{4 + 2} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.5.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{6} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.2.6

Multipliez $2$ par $12$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{6} + 24 x^{2}) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.3

Additionnez $8 x^{6}$ et $12 x^{6}$ .

$y' = (20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' = (20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3} + 2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.5

Développez $(20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3} + 2 {(x^{3} + 4)}^{3})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y' = 20 x^{6} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Multipliez $x^{6}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y' = 20 (x^{4} x^{6}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = 20 x^{4 + 6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 \cdot 2 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.3

Multipliez $20$ par $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.4.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 (x^{4} x^{3}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{4 + 3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.4.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 \cdot 2 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.6

Multipliez $32$ par $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 (x^{4} x^{2}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{4 + 2} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.7.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Étape 5.6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 \cdot 2 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$

Étape 5.6.9

Multipliez $24$ par $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$

Étape 5.7

Additionnez $40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3}$ et $24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3}$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$