Calcul infinitésimal Exemples

$y = 12^{3 x^{2} + 10 x - 6} + e^{7 x} - 15 x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12^{3 x^{2} + 10 x - 6} + e^{7 x} - 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12^{3 x^{2} + 10 x - 6}] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12^{3 x^{2} + 10 x - 6}] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12^{3 x^{2} + 10 x - 6}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 12^{x}$ et $g (x) = 3 x^{2} + 10 x - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x^{2} + 10 x - 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [12^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 10 x - 6] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $12$ .

$12^{u_{1}} \ln (12) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 10 x - 6] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x^{2} + 10 x - 6$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 10 x - 6] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 10 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + 10 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.9

Multipliez $10$ par $1$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 2.10

Additionnez $6 x + 10$ et $0$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{7 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 3.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 3.5

Déplacez $7$ à gauche de $e^{7 x}$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} - 15 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} - 15$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} (6 x + 10) \ln (12) + 7 e^{7 x} - 15$