Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - a}$ comme ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - a$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - a$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - a$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8.3

Placez ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.11

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.12.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.14

Multipliez ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.15

Pour écrire ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.16

Associez ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18

Multipliez ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.18.1

Déplacez ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.19

Simplifiez ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.20

Déplacez $2$ à gauche de $x - a$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21

Simplifiez

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Étape 1.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.21.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 a) - (- 3 x)$ .

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.7

Réécrivez $- (2 a - 3 x)$ comme $- 1 (2 a - 3 x)$ .

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 a - 3 x = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $2 a$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = - 2 a$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 2 a$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 2 a$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{2 a}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x \sqrt{x - a}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{2 a}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2 a}{3}$ .

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Pour écrire $- a$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 4.1.2.2

Associez $- a$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

Étape 4.1.2.4

Réécrivez $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.2.4.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a - a \cdot 3$ .

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Étape 4.1.2.4.1.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

Étape 4.1.2.4.1.2

Factorisez $a$ à partir de $- a \cdot 3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

Étape 4.1.2.4.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

Étape 4.1.2.4.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

Étape 4.1.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Étape 4.1.2.6

Associez $\frac{2 a}{3}$ et $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

Étape 5