Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x \sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}}]$

Étape 2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1}$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}}$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ par $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Étape 10.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$