Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{6} + 4 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $9 x^{4}$ comme ${(3 x^{2})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(3 x^{2})}^{2} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{{(3 x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.4

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{3^{2} {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{2 \cdot 2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3} - 1}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{9 x^{4} + 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.2.2

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 7.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Divisez $\sqrt{9 + 4 \cdot 0}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1 - 0}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 0}$

Étape 9.2.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{1 - 0}$

Étape 9.2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 - 0}$

Étape 9.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{1 - 0}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Étape 9.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3}{1}$

Étape 9.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3$