Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{8 x \cot (2 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $\frac{1}{8}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{x \cot (2 x)}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Étape 1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Étape 1.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (2 x)$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \cot (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ - 0.1 & 0.49331548 \\ - 0.01 & 0.49993333 \\ - 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.5$ . Ainsi, la limite de $x \cot (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0.5$ .

$0.5$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (2 x)$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \cot (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ 0.1 & 0.49331548 \\ 0.01 & 0.49993333 \\ 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.5$ . Ainsi, la limite de $x \cot (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0.5$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $0.5$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $0.5$ à partir de $1$ .

$\frac{0.5 (2)}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.5 \cdot 2}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{8} \cos (5 \cdot 0)$

Étape 9.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{2}{8} \cos (0)$

Étape 9.3

Associez $\frac{2}{8}$ et $\cos (0)$ .

$\frac{2 \cos (0)}{8}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (0)$ .

$\frac{2 (\cos (0))}{8}$

Étape 9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

Étape 9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

Étape 9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (0)}{4}$

Étape 9.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$