Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x}}{4 x + 5}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x) - 3 x}}{4 x + 5}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x) + x \cdot - 3}}{4 x + 5}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x) + x \cdot - 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x - 3)}}{4 x + 5}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{4 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x^{2}}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x \cdot x}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x \cdot x}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{4 x - 3}{x}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x - 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 5.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x - 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 5.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.1.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 7.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Étape 9.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 9.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{4 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{4 + 5 \cdot 0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Divisez $4 - 3 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{4 - 3 \cdot 0}}{4 + 5 \cdot 0}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{4 + 0}}{4 + 5 \cdot 0}$

Étape 11.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{4 + 5 \cdot 0}$

Étape 11.2.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{4 + 5 \cdot 0}$

Étape 11.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 1 \cdot 2}{4 + 5 \cdot 0}$

Étape 11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{4 + 0}$

Étape 11.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{4}$

Étape 11.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2}{4}$

Étape 11.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 11.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 11.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 11.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 11.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2}$

Étape 11.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$