Mathématiques de base Exemples

$11 = k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1 = 11$ .

$k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1 = 11$

Étape 2

Simplifiez $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$ .

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$ .

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Étape 2.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$k^{2} + k^{4} - 2 k^{2} + 0 - 1 = 11$

Étape 2.1.2

Additionnez $k^{2} + k^{4} - 2 k^{2}$ et $0$ .

$k^{2} + k^{4} - 2 k^{2} - 1 = 11$

Étape 2.2

Soustrayez $2 k^{2}$ de $k^{2}$ .

$k^{4} - k^{2} - 1 = 11$

Étape 3

Remplacez $u = k^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - u - 1 = 11$

$u = k^{2}$

Étape 4

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - u - 1 - 11 = 0$

Étape 5

Soustrayez $11$ de $- 1$ .

$u^{2} - u - 12 = 0$

Étape 6

Factorisez $u^{2} - u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 3) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 3 = 0$

Étape 8

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 9

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (u + 3) = 0$ vraie.

$u = 4, - 3$

Étape 11

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = k^{2}$ dans l’équation résolue.

$k^{2} = 4$

${(k^{2})}^{1} = - 3$

Étape 12

Résolvez la première équation pour $k$ .

$k^{2} = 4$

Étape 13

Résolvez l’équation pour $k$ .

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Étape 13.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \pm \sqrt{4}$

Étape 13.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 13.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 13.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$k = \pm 2$

Étape 13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$k = 2$

Étape 13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$k = - 2$

Étape 13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = 2, - 2$

Étape 14

Résolvez la deuxième équation pour $k$ .

${(k^{2})}^{1} = - 3$

Étape 15

Résolvez l’équation pour $k$ .

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Étape 15.1

Supprimez les parenthèses.

$k^{2} = - 3$

Étape 15.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 15.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 15.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$k = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 15.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$k = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 15.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$k = \pm i \sqrt{3}$

Étape 15.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 15.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$k = i \sqrt{3}$

Étape 15.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$k = - i \sqrt{3}$

Étape 15.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 16

La solution à $k^{4} - k^{2} - 1 = 11$ est $k = 2, - 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$k = 2, - 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$